El Sistema de numeración chino.

La forma clásica de escritura de los números en China se empezó a usar desde el 1500 AC. aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades y los distintas potencias de 10. Utiliza los ideogramas de la figura y usa la combinación de los números hasta el diez con la decena, centena, millar y decena de millar para según el principio multiplicativo representar 50, 700 ó 3000.

El orden de escritura se hace fundamental, ya que 5 10 7 igual podría representar 57 que 75. Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque también se hace de izquierda a derecha como en el ejemplo de la figura.

No es necesario un símbolo para el cero siempre y cuando se pongan todos los ideogramas, pero aún así a veces se suprimían los correspondientes a las potencias de 10. Aparte de esta forma que podríamos llamar canónica se usaron otras. Para los documentos importantes se usaba una grafía más complicada con objeto de evitar falsificaciones y errores. En los sellos se escribía de forma más estilizada y lineal y aún se usaban hasta dos grafías diferentes en usos domésticos y comerciales, aparte de las variantes regionales. Los eruditos chinos por su parte desarrollaron un sistema posicional muy parecido al actual que desde que incorporó el cero por influencia india en s. VIII en nada se diferencia de este.

Sistemas de numeración posicionales.

Mucho más efectivos que los sistemas anteriores son los posicionales. En ellos la posición de una cifra nos dice si son decenas, o centenas o en general la potencia de la base correspondiente. Sólo tres culturas además de la Hindú lograron desarrollar un sistema de este tipo. Babilonios, chinos y mayas en distintas épocas llegaron al mismo principio. La ausencia del cero impidió a los chinos un desarrollo completo hasta la introducción del mismo.

Los sistemas babilónico y maya no eran prácticos para operar porque no disponían de símbolos particulares para los dígitos, usando para representarlos una acumulación del signo de la unidad y la decena. El hecho que sus bases fuesen 60 y 20 respectivamente no hubiese representado en principio ningún obstáculo. Los mayas por su parte cometían una irregularidad a partir de las unidades de tercer orden, ya que detrás de las veintenas no usaban 20×20=400 sino 20×18=360 para adecuar los números al calendario, una de sus mayores preocupaciones culturales.

Fueron los Hindúes antes del siglo VII los que idearon el sistema tal y como hoy lo conocemos, sin más que un cambio en la forma en la que escribimos los nueve dígitos y el cero. Aunque con frecuencia nos referimos a nuestro sistema de numeración cómo árabe, las pruebas arqueológicas y documentales demuestran el uso del cero tanto en posiciones intermedias como finales en la India desde el s. Los árabes transmitieron esta forma de representar los números y sobre todo el cálculo asociado a ellas, aunque tardaron siglos en ser usadas y aceptadas. Una vez más se produjo una gran resistencia a algo por el mero hecho de ser nuevo o ajeno, aunque sus ventajas eran evidentes. Sin esta forma eficaz de numerar y efectuar cálculos difícilmente la ciencia hubiese podido avanzar.

El Sistema de numeración babilónico.

Entre las muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia se desarrollaron distintos sistemas de numeración. En el s AC. se inventó un sistema de base 10, aditivo hasta el 60 y posicional para números superiores. Para la unidad se usaba la marca vertical que se hacía con el punzón en forma de cuña. Se ponían tantos como fuera preciso hasta llegar a 10, que tenía su propio signo.

De este se usaban los que fuera necesario completando con las unidades hasta llegar a 60.

A partir de ahí se usaba un sistema posicional en el que los grupos de signos iban representando sucesivamente el número de unidades, 60, 60×60, 60×60x60 y así sucesivamente como en los ejemplos que se acompañan.

El sistema de numeración maya.

Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 como base auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro rayas.

Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados cada uno un solo signo, estos símbolos constituyen las cifras de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20×20, 20×20x20 … según el lugar que ocupe, y sumar el resultado.

Es por tanto un sistema posicional que se escribe a arriba abajo, empezando por el orden de magnitud mayor.

Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo para el cero, con el que indicar la ausencia de unidades de algún orden, se hace imprescindible y los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto de cantidad nula. Cómo los babilonios lo usaron simplemente para indicar la ausencia de otro número. Pero los científicos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la observación astronómica y para expresar los números correspondientes a las fechas usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la base 20. Así la cifra que ocupaba el tercer lugar desde abajo se multiplicaba por 20×18=360 para completar una cifra muy próxima a la duración de un año.

El año lo consideraban dividido en 18 uinal que constaba cada uno de 20 días. Se añadían algunos festivos (uayeb) y de esta forma se conseguía que durara justo lo que una de las unidades de tercer orden del sistema numérico. Además de éste calendario solar, usaron otro de carácter religioso en el que el año se divide en 20 ciclos de 13 días. Al romperse la unidad del sistema éste se hace poco práctico para el cálculo y aunque los conocimientos astronómicos y de otro tipo fueron notables los mayas no desarrollaron una matemática más allá del calendario.

Sistema de numeración romano.

El sistema de números romanos carece del 0 por lo que se convierte en un sistema muy complicado al querer realizar multiplicaciones y divisiones. Este sistema de numeración, ha caído en desuso y sólo se lo usa con fines decorativos (relojes, estatuas, monumentos) y cierto protocolo (para numerar: los siglos, los papas, los reyes y reinas, etc.).

Los signos que utiliza son:

• V 5
• X 10
• L 50
• C 100
• D 500
• M 1000

Las reglas para escribir los números son:

1. Un símbolo no se puede repetir más de tres veces seguidas
2. Si un símbolo de valor inferior, antecede a otro de valor superior, el primer símbolo resta su valor, al valor del símbolo de la derecha.
3. Una raya encima de un símbolo, multiplica por mil el valor del símbolo. Dos rayas encima de un símbolo multiplica por un millón el valor del símbolo.

Sistemas de numeración modernos.

Un sistema de numeración está definido por la elección arbitraria de una base de numeración (esta base es igual al número de símbolos, llamados cifras, que se utilizarán para representar los números) y por ciertas reglas de posición. La base a elegida debe ser un número natural superior a 1; una vez fijada la base, es necesario elegir a signos diferentes y a nombres diferentes para representar y nombrar los primeros números inferiores.

En el caso en que a=10 se trata del sistema de numeración decimal, sistema utilizado de manera general, y cuyo origen es casi con seguridad el número de dedos de las manos. Los símbolos utilizados son, en este caso, las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

En el caso en que a=2 se trata del sistema de numeración binaria, sistema utilizado por razones tecnológicas en las máquinas de cálculo, en particular en los ordenadores. Los símbolos utilizados son entonces las cifras 0 y 1. Las calculadoras utilizan también el sistema de base 8, o sistema octal.

En el caso de que a=12 se trata del sistema de numeración duodecimal, y los doce símbolos utilizados son las cifras 0, 1, 2, …, 9, a las cuales se agregan los signos 0 y 1.

En el caso en que a=60 se trata del sistema de numeración sexagesimal, utilizado especialmente para las medidas de tiempo y de ángulos.

La elección de una base demasiado pequeña provoca rápidamente la utilización de un gran número de cifras para la escritura de los números (el número 9, en base 2, se escribe 1001). La elección de una base grande hace necesaria la utilización de un número elevado de símbolos.

La representación escrita de los números naturales se fundamenta en el hecho de que todo número natural se puede expresar de forma única como combinación lineal de potencias de la base elegida, siendo los coeficientes de la combinación números naturales estrictamente inferiores a la base (estos números pueden ser nulos).

CARDINAL: Numeral que expresa el número, sin relación de orden: el tres es un numeral cardinal.

Si se le añade el cero a los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, 12…, se obtienen los números cardinales.